Диссертация

Диссертация является научным исследованием в области дифференциальной геометрии и топологии на стыке двух актуальных направлений: теория математического биллиарда и теория интегрируемых гамильтоновых систем. Работа посвящена исследованию топологии слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве.

Рассматриваются два вида динамических систем: софокусные геодезические биллиарды на квадриках, а также трехмерные биллиарды, ограниченные софокусными квадриками. Они являются интегрируемыми по Лиувиллю в кусочно-гладком смысле.В диссертационной работе классифицированы все софокусные области на квадриках в трехмерном евклидовом пространстве, а также трехмерные биллиардные столы, ограниченные софокусными квадриками, относительно их комбинаторного устройства. Получена полная лиувиллева классификация всех софокусных биллиардов на квадриках. Классифицированы все трехмерные биллиарды, ограниченные софокусными квадриками, относительно грубой лиувиллевой эквивалентности. Помимо этого, определены классы гомеоморфности поверхностей постоянной энергии биллиардов внутри трехмерных софокусных областей. Как оказалось, каждая из них гомеоморфна либо пятимерной сфере, либо прямому произведению окружности и четырехмерной сферы, либо прямому произведению двумерной и трехмерной сфер. Подход, использованный при доказательстве этого факта, был модернизирован и с его помощью получена классификация неособых изоэнергетических поверхностей биллиарда с потенциалом Гука внутри трехосного эллипсоида.