Диссертация

Диссертационная работа относится к области математики, которая находится на пересечении дифференциальной геометрии, теории интегрируемых систем и математической физики. Полученные в работе результаты закладывают основы нового направления дифференциальной геометрии — геометрии Нийенхейса и её приложений.

В диссертационной работе А.Ю.Коняева исследуются многообразия с заданными нанихоператорными полями с нулевым кручением Нийенхейса, их нормальные формы в регулярных и особых точках, симметрии, законы сохранения, функции от таких операторных полей и пучки нийенхейсовых структур; устанавливается связь с естественными комплексными структурами. Приведённые объекты рассматриваются как в гладком, так и в вещественно-аналитическом и комплексно аналитическом случаях. Также в работе рассматриваются алгебраические структуры, связанные с операторами Нийенхейса, и их приложениями — коммутативные ассоциативные алгебры и пучки таких алгебр, левосимметрические алгебры, бесконечномерные коммутативные подалгебры в алгебре операторных полей, алгебры Ли со специальными базисами.

Полученные в диссертации теоретические результаты применяются к задачам о существовании операторов Нийенхейса на компактных многообразиях, задачам классификации пучков гамильтоновых операторов, задачам из теории проективно эквивалентных метрик и задачам теории интегрируемых систем, допускающих разделение переменных. Строятся новые классы конечномерных, а также бесконечномерных скобок Пуассона. Для построенных конечномерных систем доказывается полнота и дается классификация в малых размерностях