Диссертация

Диссертация относится к области высшей алгебры, теории ассоциативных колец и алгебр. Исследуются системы образующих матричных колец инцидентности.

Доказаны необходимые и достаточные условия того, что подмножество кольца инцидентности является системой образующих. Этот критерий обобщает теорему Лонгстаффа, Розенталя со случая поля на произвольное ассоциативное кольцо коэффициентов. Полученный автором критерий используется для оценки минимальной мощности систем образующих. В ситуации, когда кольцо коэффициентов полулокальное или простое, найдены точные формулы для минимальной мощности систем образующих кольца инцидентности.

В случае коммутативного кольца коэффициентов отдельно рассматриваются системы образующих, состоящие из идемпотентов. Найдена формула для минимального количества идемпотентов, порождающих алгебру инцидентности над произвольным коммутативным кольцом. Эта формула обобщает аналогичный результат Келарева, ван дор Марве, ван Вейка для алгебры треугольных матриц, а также даёт новую интерпретацию их результата в терминах графов.

Исследуется функция длины систем образующих алгебр инцидентности над конечным полем. Установлена точная верхняя оценка функции длины в терминах инвариантов соответствующего частично упорядоченного множества. Найдена множество всех реализуемых значений функции длины в случае квадратично-нильпотентного радикала.