Диссертация

Диссертационная работа посвящена одному из разделов математической физики --- методу потенциалов. В работе получены новые квадратурные формулы для потенциалов простого и двойного слоя в трёхмерных областях для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Потенциалы простого и двойного слоя используются при решении краевых задач математической физики методом граничных интегральных уравнений, который в математической литературе называют также методом потенциалов. У этого метода можно выделить две основные области применения: доказательство разрешимости краевых задач и разработка алгоритмов их численного решения. Большое количество задач математической физики сводится к краевым задачам для уравнений Лапласа и Гельмгольца: задачи обтекания потенциальных течений, стационарное уравнение теплопроводности, расчёт электрических и гравитационных полей поверхностей сложной формы, распространение акустических волн. Стандартные квадратурные формулы, используемые в прикладных расчетах, не дают равномерной аппроксимации и равномерной сходимости потенциалов вблизи поверхности, на которой задана плотность. При этом погрешность стандартных формул стремится к бесконечности, когда точка, в которой вычисляется квадратурная формула, приближается к определенным точкам на поверхности. Следовательно, стандартные квадратурные формулы не сохраняют важнейшее свойство потенциалов, а именно их ограниченность и непрерывность вблизи поверхности. В связи с вышесказанным автором диссертационной работы были получены результаты в виде новых квадратурных формул, сохраняющих указанное свойство этих потенциалов. При решении внешних краевых задач в неограниченных областях метод потенциалов является особенно эффективным, так как позволяет перейти от исходной трёхмерной задачи к двумерному интегральному уравнению на ограниченной поверхности. Переход от исходной краевой задачи для уравнения Лапласа и Гельмгольца к граничному интегральному уравнению не создаёт погрешности решения. При численной реализации метода погрешность появляется только из-за дискретизации интегрального уравнения и потенциалов, поскольку обычно невозможно аналитически выполнить интегрирование. Если метод численного интегрирования весьма точный, обладает такими свойствами как равномерная сходимость и равномерная аппроксимация, то в результате погрешности численного решения можно значительно уменьшить без увеличения времени вычислений. Численная реализация метода потенциалов с указанными свойствами разработана автором в диссертации.