Диссертация

Объект исследования. В диссертации изучаются функционалы на бесконечномерных пространствах, как правило линейные или полиномиальные. Кроме того, рассматриваются меры и их образы под действием данных функционалов. Цель работы. Развить теорию измеримых многочленов на бесконечномерных пространствах: изучить общие свойства, вытекающие из алгебраического определения, изучить особые свойства в гауссовской ситуации, изучить образы логарифмически вогнутых мер, а также равномерных распределений на выпуклых телах. Методы исследования. Основные методы лежат в русле теории меры и функционального анализа. Используется техника выпуклого анализа, а также ряд разработанных автором конструкций. Полученные результаты. 1. Доказано, что пределы измеримых многочленов являются измеримыми многочленами, т.е. обладают версиями, которые являются алгебраическими многочленами. 2. Изучены вопросы измеримости однородных компонент измеримого многочлена, а также свойства сужений этих многочленов на пространство Камерона–Мартина для гауссовской меры. 3. Получено изопериметрическое неравенство в форме Чигера для полиномиальных образов мер, являющихся равномерными распределениями на выпуклых телах в R^n, причем с константой, которая зависит лишь от среднего значения модуля многочлена на выпуклом теле, а также от размерности n и степени многочлена d. Как следствие, получено неравенство Пуанкаре с аналогичной константой. 4. Доказана абсолютная непрерывность образов логарифмически вогнутых мер под действием непостоянных многочленов, а также функций из других широких классов. Для полиномиальных отображений доказаны законы 0-1 для мер подпространств, а также множеств сходимости последовательностей таких отображений. Получены условия абсолютной непрерывности распределений норм, взятых от полиномиальных отображений, измеримых относительно логарифмически вогнутых мер. Для произвольных измеримых многочленов фиксированной степени доказана эквивалентность L^1-нормы по логарифмически вогнутой мере и L^1-нормы по сужению этой меры на всякое множество положительной меры.