Диссертация

Диссертация посвящена существенному развитию и созданию нового научного направления на стыке таких областей математики как теория чисел, алгебра и арифметическая геометрия. Это стало возможным благодаря предложенным новым методам в теории функциональных непрерывных дробей и построению совершенно новой теории функциональных непрерывных дробей обобщенного типа.

Для мирового математического сообщества многие годы остается недоступным решение проблемы кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел и над полями алгебраических чисел (далее --- проблема кручения). С проблемой кручения тесно связаны следующие глубокие проблемы: проблема периодичности разложения в функциональную непрерывную дробь элементов гиперэллиптических полей, проблема существования и построения фундаментальных единиц и S-единиц в гиперэллиптических полях, проблема поиска решений функциональных аналогов уравнений типа Пелля, проблема ограниченности порядков подгрупп кручения в группах классов дивизоров гиперэллиптических кривых. Эти проблемы относятся к числу важных и трудных проблем современной математики. В настоящий момент нет единого подхода, который мог бы приблизить к решению этих проблем, и каждое продвижение дается с большим трудом. Полное решение указанных проблем невозможно без построения эффективных алгоритмов и высокопроизводительных компьютерных вычислений.

В рамках указанных проблем в диссертации разработан новый подход к изучению арифметических свойств гиперэллиптических кривых и гиперэллиптических полей на основании глубокого анализа группы классов дивизоров и построенной теории функциональных непрерывных дробей обобщенного типа. Этот подход позволил обнаружить множество ярких теоретико-числовых, алгебраических и геометрических свойств и связей таких математических объектов, как функциональные аналоги уравнений Пелля, фундаментальные единицы и S-единицы, якобиевы многообразия, группы классов дивизоров и их подгруппы кручения. С помощью разработанных новых методов в диссертации решена проблема классификации эллиптических полей по признаку периодичности функциональных непрерывных дробей над полем рациональных чисел и над квадратичными полями алгебраических чисел для эллиптических полей, входящих в рациональную параметризацию модулярными кривыми.