Диссертация

Диссертация посвящена аналитической и алгебраической теории чисел.

Первая тема, которую мы рассмотрим, — это представления двух рациональных целых чисел в виде сумм трех рациональных квадратов, имеющих общий квадрат. Представления целых рациональных чисел в виде многочленов всегда представляли интерес для математики. Многие известные теоремы и результаты, такие как теорема Лежандра о трех квадратах, теоремы Лагранжа и Якоби о четырех квадратах, проблема Гильберта-Гамке4 и многие другие, посвящены этому вопросу. В частности, теорема Лежандра о трех квадратах полностью решает задачу представления рационального целого числа в виде суммы трех рациональных квадратов. Для представления целого числа однородным многочленом второй степени локально-глобальный принцип Хассе5 сводит проблему к представимости по модулю всех степеней простых чисел и представимости в действительных числах. В 1980 году Д.Л. Коллио-Телен и Д. Корэ обобщили принцип Хассе на два однородных многочлена при определенных условиях. Наше исследование направлено на обобщение вышеупомянутой теоремы Лежандра, и использует это обобщение.

Вторая тема, которую мы рассматриваем — это оценки тригонометрических сумм в полях алгебраических чисел. Тригонометрические суммы уже давно представляют интерес из-за их глубокой связи с модулярной арифметикой в кольце вычетов по модулю q. В частности, они возникают в методе круга Харди-Литтлвуда-Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова для оценки числа решений диофантовых уравнений. В частности, рассмат-

ривается разрешимость данного уравнения, во-первых, в действительных числах, а во-вторых, по модулю любого рационального целого q. Последняя часть обычно бывает более глубокой и трудной, и существенную роль в ней играют рациональные тригонометрические суммы; они эффективно отвечают за разрешимость по модулю q. В 1940 г. Хуа Ло-кен нашел нетривиальную оценку тригонометрических сумм в поле рациональных чисел. Последующие работы Чэнь Джунруна и В.И.Нечаева улучшали оценку. В 1984 г. Ци Мингао и Дин Пин нашли константу в оценке Хуа Ло-кена. В 1949 г. Хуа Ло-кен обобщил свою оценку на случай тригонометрических сумм в полях алгебраических чисел. Первая часть нашего исследования по этой теме направлена на усиление этой оценки. Вторая часть нашего исследования по этой теме направлена на обобщение метода деревьев Хуа Ло-кена для построения решений полиномиальных сравнений по модулю рационального простого числа, используемого в решении проблемы сходимости особого ряда в проблеме Пруэ-Терри-Эскота, на случай полей алгебраических чисел.

Третья тема, которую мы рассматриваем, — это представления характеров Дирихле. Характеры Дирихле, впервые введенные П.Л. Дирихле в 1837 г., играют центральную роль в мультипликативной теории чисел. Первоначально они использовались им для доказательства теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях. Многие важные вопросы аналитической теорией чисел были разработаны на основе характеров Дирихле и теории L-функций Дирихле. В современной теории L-функций большое значение имеют оценки сумм характеров. Формула А.Г. Постникова, доказанная им в 1955 г., выражает характеры Дирихле по модулю степени нечетного простого числа через экспоненты от многочленов с рациональными коэффициентами. Таким образом, задача об оценке сумм таких характеров Дирихле сводится к методу тригонометрических сумм И.М. Виноградова. Наше исследование по этой теме связано с обобщением формулы А.Г. Постникова на случай характера Дирихле по модулю степени 2 и применением как оригинальной, так и обобщенной формулы А.Г. Постникова для оценки сумм характеров в полях алгебраических чисел.