Диссертация

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и списка публикаций автора. Первая глава диссертации является вводной и содержит основные определения, обозначения, описание истории вопроса изучения длин групповых алгебр и вспомогательные результаты, которые используются в дальнейшем.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию длины групповых алгебр конечных абелевых групп. Показано, что в полупростом случае над всеми достаточно большими полями длина групповой алгебры произвольной абелевой группы равна порядку группы без единицы, в частности, достигает максимального возможного значения. Над малыми конечными полями найдены как примеры групп с максимальным значением длины алгебр, так и серии примеров, для которых длина выражается логарифмической функцией порядка группы. В модулярном случае найдено точное равенство для длины групповых алгебр p-групп и некоторые оценки длин в общем случае. Доказана их точность. Вычислены длины групповых алгебр над полем характеристики p в случае, когда p-компонента раскладывается в прямое произведение не более двух циклических сомножителей. Интересно, что в этом случае, для одного сомножителя длина является линейной функцией порядка группы, а для двух — логарифмической.

В третьей главе диссертации вычислены длины групповых алгебр диэдральных групп над различными полями. Показано, что для группы симметрий правильного n-угольника значение длины её групповой алгебры равно n. Отметим, что данное значение длины всегда достигается на групповых системах образующих. Для доказательства основного результата развита новая техника вычисления длины прямых сумм полных матричных и коммутативных алгебр. Полученные результаты и разработанные методы представляют самостоятельный интерес для дальнейшего исследования длин матричных подалгебр.

В четвёртой главе диссертации полностью решена задача нахождения длин групповых алгебр всех групп, порядков, не превосходящих девяти, над всевозможными полями. Как следствие установлено, что для фиксированной группы заданного порядка длина может не быть монотонной функцией от мощности поля. Также в данной главе представлен альтернативный матричный метод вычисления длины групповых алгебр абелевых групп над полями характеристики ноль.