Диссертация
Кирова Валерия Орлановна
Кандидат наук
Статус диссертации
Доктор наук Профессор
Райгородский Андрей Михайлович
Доктор наук Профессор
Доктор наук Профессор
Малышев Дмитрий Сергеевич
Доктор наук Профессор
Михалев Александр Александрович
Доктор наук Профессор
физико-математические науки
Работа содержит исследования темам, стоящим на стыке комбинаторной геометрии и теории графов, а также комбинаторной геометрии и комбинаторики слов.
Первая тема посвящена задаче Нельсона и её обобщениям. Задача берет своё начало в 1950 году, когда Э. Нельсон задался вопросом о нахождении хроматического числа плоскости χ (R2) - минимального числа цветов, в которые можно раскрасить евклидову плоскость так, чтобы любые две точки на единичном расстоянии имели разные цвета. В русскоязычной литературе устоялось название проблема Нельсона-Хадвигера. Несмотря на простоту формулировки задачи, точное значение хроматического числа плоскости до сих пор не найдено, а для случая растущей размерности известны лишь асимптотические оценки. Если в классической постановке задачи запрещается двум точкам на единичном расстоянии быть одноцветными, то в данной работе рассматривается случай более сложных конфигураций, а именно последовательности вещественных чисел B(λ_1,...,λ_k) = {0,λ_1,λ_1+λ_2,...,∑_(t=1)^k▒λ_t }∈ ℝ. В случае, когда все λ_(t=1..k)=1, множество является просто единичной арифметической прогрессией и обозначается B_k. Один из основных результатов работы по этой теме - теорема о существовании раскраски в 2 цвета, при которой пространства с чебышевской метрикой не содержат одноцветных ∞-изометрических копий множеств B_k. Получены следствия для произвольных метрических пространств: любое нормированное пространство может быть раскрашено в 2 цвета так, что оно не содержит одноцветных множеств B_k.
Также в работе рассмотрены пространства вида Rn × [0, e]h, называемые слойками. Концепцию рассмотрения таких «слоек» в свое время предложил А.Я. Канель-Белов. В диссертации получен ряд новых нетривиальных оценок для хроматических чисел различных слоек в вещественном и рациональном случаях.
Вторая тема связана с изучением относительно нового направления, а именно графов, представимых словами. В работе представлен обзор графов, представимых словами, а также их связь с хроматическим числом.
Третья тема касается вопросов комбинаторики слов. В работе представлена связь теоремы Ван дер Вардена об одноцветных арифметических прогрессиях с комбинаторными сложностными характеристиками бесконечных слов. В работе введена новая, более обобщенная модификация функции комбинаторной сложности - полиномиальная сложность бесконечных слов, которая была рассмотрена на словах с Штурма, и установлена верхняя оценка.
Последняя глава диссертации посвящена приложениям комбинаторной геометрии в задачах Маркшейдерского дела, основной результат которой --- представленный эргодический подход для разбиения пространства n системами равностоящих плоскостей и других аналогичных задач.
# | Название | Размер |
---|---|---|
1 | Отзыв официального оппонента | 149 KB |
2 | Сведения об официальных оппонентах, включая публикации | 154 KB |
3 | Сведения о научных руководителях (консультантах) | 161 KB |
4 | Отзыв официального оппонента | 147 KB |
5 | Заключение по диссертации | 254 KB |
6 | Отзыв научного руководителя (консультанта) | 2 MB |
7 | Протокол приема диссертации к защите | 57 KB |
8 | Отзыв второго научного руководителя (консультанта) | 1 MB |
9 | Автореферат | 797 KB |
10 | Диссертация | 1 MB |
11 | Отзыв официального оппонента | 83 KB |