Диссертация

Работа содержит исследования темам, стоящим на стыке комбинаторной геометрии и теории графов, а также комбинаторной геометрии и комбинаторики слов.

Первая тема посвящена задаче Нельсона и её обобщениям. Задача берет своё начало в 1950 году, когда Э. Нельсон задался вопросом о нахождении хроматического числа плоскости χ (R2) - минимального числа цветов, в которые можно раскрасить евклидову плоскость так, чтобы любые две точки на единичном расстоянии имели разные цвета. В русскоязычной литературе устоялось название проблема Нельсона-Хадвигера. Несмотря на простоту формулировки задачи, точное значение хроматического числа плоскости до сих пор не найдено, а для случая растущей размерности известны лишь асимптотические оценки. Если в классической постановке задачи запрещается двум точкам на единичном расстоянии быть одноцветными, то в данной работе рассматривается случай более сложных конфигураций, а именно последовательности вещественных чисел B(λ_1,...,λ_k) = {0,λ_1,λ_1+λ_2,...,∑_(t=1)^k▒λ_t }∈ ℝ. В случае, когда все λ_(t=1..k)=1, множество является просто единичной арифметической прогрессией и обозначается B_k. Один из основных результатов работы по этой теме - теорема о существовании раскраски в 2 цвета, при которой пространства с чебышевской метрикой не содержат одноцветных ∞-изометрических копий множеств B_k. Получены следствия для произвольных метрических пространств: любое нормированное пространство может быть раскрашено в 2 цвета так, что оно не содержит одноцветных множеств B_k.

Также в работе рассмотрены пространства вида Rn × [0, e]h, называемые слойками. Концепцию рассмотрения таких «слоек» в свое время предложил А.Я. Канель-Белов. В диссертации получен ряд новых нетривиальных оценок для хроматических чисел различных слоек в вещественном и рациональном случаях.

Вторая тема связана с изучением относительно нового направления, а именно графов, представимых словами. В работе представлен обзор графов, представимых словами, а также их связь с хроматическим числом.

Третья тема касается вопросов комбинаторики слов. В работе представлена связь теоремы Ван дер Вардена об одноцветных арифметических прогрессиях с комбинаторными сложностными характеристиками бесконечных слов. В работе введена новая, более обобщенная модификация функции комбинаторной сложности - полиномиальная сложность бесконечных слов, которая была рассмотрена на словах с Штурма, и установлена верхняя оценка.

Последняя глава диссертации посвящена приложениям комбинаторной геометрии в задачах Маркшейдерского дела, основной результат которой --- представленный эргодический подход для разбиения пространства n системами равностоящих плоскостей и других аналогичных задач.