Диссертация

Диссертация является исследованием в теории графов и отображений, сохраняющих матричные инварианты. Одной из целей работы является характеризация автоморфизмов тотального графа, и доказательство гипотезы о том, что автоморфизмы имеют стандартный вид. Отдельно решается задача описания отображений матричной алгебры, сохраняющих пучковые условия на вырожденность. Теорема, которая является результатом решения этой задачи, обобщает некоторые полученные ранее в этой области результаты.

Рассмотрим граф, множеством вершин которого являются все матрицы, а ребрами соединены в точности те матрицы, сумма которых вырождена. Такой граф называется тотальным графом кольца матриц. Подграф тотального графа, порожденный множеством невырожденных матриц, называется регулярным графом кольца матриц. Изначально понятия тотального и регулярного графов были введены Андерсоном и Бадави для коммутативного кольца с единицей. В 2014 году Акбари рассмотрел аналогичные графы и над некоммутативными кольцами. Тотальный и регулярный графы кольца матриц над полем станут основными объектами исследования. Тотальный и регулярный графы кольца матриц обладают рядом интересных свойств. Например, как показал Акбари, кликовое число регулярного графа конечно вне зависимости от поля, за исключением полей характеристики два. Хроматическое число, напротив, может быть бесконечно – этот результат получен в работе Томона. Есть гипотеза, что автоморфизмы T: M_n → M_n тотального графа имеют вид T(A) = PA^fQ или T(A) = P(A^f)^TQ, где P, Q – невырожденные матрицы, а A^f – результат поэлементного применения автоморфизма поля f к элементам матрицы A. Справедливость этой гипотезы для 2x2 матриц над конечным полем показали Джоу, Вонг и Ма. В работе гипотеза будет доказана для матриц произвольного размера и любого поля, в котором есть хотя бы три элемента. Также будут исследованы некоторые свойства тотального и регулярного графов и классифицированы пары отображений, сохраняющие пучковое условие на вырожденность.