Диссертация

Диссертация относится к конструктивной логике. Единообразно определяется понятие V-реализуемости для утверждений, формулируемых в некотором расширении L языка арифметики, основанное на использовании в роли реализаций для импликации и квантора всеобщности индексов функций из класса V. При этом в качестве V наряду с классами примитивно рекурсивных и частично-рекурсивных функций рассматриваются классы арифметических и гиперарифметических функций, а также некоторые промежуточные классы, а в качестве языка L - язык формальной арифметики и его расширения. Понятие V-реализуемости распространяется на высказывания языков логики предикатов и теории множеств. В диссертации получены следующие основные результаты. Во-первых, доказано, что если класс V содержит все функции, определимые в расширении языка арифметики L, то семантика языка L, основанная на V-реализуемости, совпадает с классической, а соответствующая предикатная логика – с классической логикой предикатов. Установлено, что не всякая примитивно рекурсивно реализуемая предикатная формула классически общезначима. Во-вторых, доказано, что если V содержит все арифметические функции, то всякая абсолютно V-реализуемая предикатная формула классически общезначима, и в то же время не всякая замкнутая формула, выводимая в интуиционистском исчислении предикатов, является абсолютно V-реализуемой. Установлена корректность базисной логики предикатов относительно абсолютной V-реализуемости для различных классов V. В-третьих, доказано, что модификация конструктивной теории множеств без аксиомы объемности, основанная на использовании базисной логики вместо интуиционистской, является корректной относительно V-реализуемости для различных классов V.