Диссертация

Работа содержит три основных результата. Первый результат дает отрицательный ответ на вопрос, поставленный Калюде с соавторами: доказано существование такого оптимального декомпрессора (для обычной сложности, без требования беспрефиксности), что его область определения не содержит в себе область определения никакого оптимального беспрефиксного декомпрессора. Второй результат показывает, что существует последовательность $\omega$, для которой сумма $\sum_{x\sqsubset\omega} \mm(x)/\A(x)$ (по всем конечным началам $x$ последовательности $\omega$) бесконечна. Более того, показано, что последовательность c таким свойством можно выбрать среди характеристических последовательностей перечислимых множеств натуральных чисел. Третий результат является обобщением результата Гача. Рассматриваются следующие три функции: $BP(n)$ - максимальное число, префиксная колмогоровская сложность которого не больше $n$, $BP’(n)$ - регулятор сходимости априорной вероятности и $B(n)$, равная максимальному числу (обычной) колмогоровской сложности не больше $n$. Показано, что все три функции $B$, $BP$ и $BP’$ достаточно близки: выполнено неравенство $$BP(n) < BP’(n + O(1)) < B(n + O(1)) < BP(n + \KP(n) + O(1)).$$ Однако при этом \emph{оба} разрыва (между $BP$ и $BP’$, как уже было показано Гачем, а также между $BP’$ и $B$) могут приближаться к даваемой этим неравенством верхней оценке: для любой перечислимой последовательности $a_n$ со свойством $\sum 2^{-a_n} =\infty$ существует такое $n$, что $BP’(n - a_n) > B(n)$ и существует такое $n$, что $BP(n - a_n) > BP’(n)$. Заметим, что эти две разницы вместе уже превышают верхнюю оценку, поэтому максимум в том и другом случае необходимо должен достигаться для разных значений $n$."