Диссертация

Диссертация посвящена созданию и существенному развитию нового научного направления, находящегося на стыке теории интегрируемых невырожденных устойчивых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и теории математических биллиардов. Это стало возможным благодаря введению нового класса интегрируемых биллиардных систем - биллиардных книжек. Этот класс введён автором и обобщает ранее разработанные и исследованные топологические интегрируемые биллиарды -- ориентируемые многообразия, состоящие из элементарных плоских биллиардов-листов, ограниченных дугами софокусных квадрик. Оказывается, этот новый класс биллиардов-книжек позволяет реализовывать многие важные гамильтоновы интегрируемые системы в математической физике, механике, топологии, симплектической геометрии. Анализ топологии лиувиллевых слоений топологических биллиардов и биллиардных книжек произведен с помощью методов теории Фоменко--Цишанга об инвариантах интегрируемых систем. Это позволило обнаружить множество новых и нетривиальных результатов и связей, позволяющих моделировать многие другие интегрируемые системы с помощью интегрируемых биллиардов.