Диссертация

Эффект интегрируемости для большинства из известных интегрируемых гамильтоновых систем связан с наличием бигамильтоновой структуры. Однако до сих пор остается открытым вопрос об эффективном методе построения биинтегрируемой системы по заданному пучку согласованных скобок Пуассона. В некоторых случаях этот вопрос решается довольно легко. Трудности возникают, когда пуассонов пучок имеет сложную алгебраическую структуру. Даже в предположении, что пуассонов пучок является линейным, этот вопрос является отрытым. Такая ситуация в некоторых случаях реализуется на двойственных пространствах к алгебрам Ли; именно такой случай является основным объектом анализа диссертационной работы.

В недавней работе А. В. Болсинова и Pumei Zhang были введены инварианты Жордана–Кронекера алгебр Ли. Эти инварианты представляют собой наборы индексов двух типов, описывающие алгебраическую структуру пучка скобок Пуассона общего положения на двойственном пространстве к алгебре Ли. В работе Болсинова и Zhang также была получена переформулировка критерия полноты семейства функций, построенных с помощью метода сдвига аргумента, на языке этих инвариантов. В общем случае вопрос построения инвариантов Жордана-Кронекера для произвольной алгебры Ли остается открытым.

В диссертационной работе инварианты Жордана-Кронекера вычислены для полупрямых сумм классических алгебр Ли с несколькими экземплярами пространства стандартного представления (кроме некоторых специальных случаев), а также для борелевских подалгебр простых классических алгебр Ли so и sp. Также для семимерных нильпотентных алгебр Ли из списка M.-P. Gong были построены полные наборы полиномов в биинволюции, т.е., для данных алгебр Ли проверена обобщенная гипотеза Мищенко-Фоменко.