Диссертация

Диссертационная работа посвящена исследованию раздела статистического последовательного анализа: последовательному различению гипотез — а также исследованию моментов первого достижения некоторого уровня для модели винеровского процесса с “разладкой”. Целью работы является нахождение оптимальных и асимптотически оптимальных решающих правил в конкретных моделях последовательного анализа, связанных с проверкой статистических гипотез. Также целью работы является получение аналитических выражений для основных вероятностных характеристик моментов первого выхода броуновского движения с “разладкой” на заданный уровень. В диссертации применены методы стохастического анализа, теории марковских процессов, теории мартингалов. Также используются методы теории задач об оптимальной остановке и теории преобразований Лапласа. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. 1. Доказана асимптотическая оптимальность критерия Вальда в задаче последовательного различения двух простых гипотез для стационарного процесса Орнштейна-Уленбека, во-первых, для случая, когда вероятности ошибок первого и второго рода стремятся к нулю; во-вторых, для случая, когда вероятности ошибок фиксированы, а тестируемые значения параметра стремятся к бесконечности, сохраняя заданное расстояния между собой. Проверке подлежат гипотезы о величине параметра, отвечающего за скорость возвращения процесса Орнштейна-Уленбека к своему среднему значению. Оптимальность понимается в смысле минимизации информации Кульбака-Лейблера. 2. Найдено оптимальное решающее правило в байесовской задаче последовательного различения гипотез о терминальном значении броуновского моста; изучена его структура, а именно: доказано существование, единственность, непрерывность и монотонность оптимальных границ остановки, которые характеризуются как единственное решение некоторой системы интегральных уравнений. 3. Найдены аналитические выражения преобразований Лапласа, среднего времени выхода на заданный уровень, аналитические выражения плотностей вероятностных распределений, а также вероятностей достижения границы за конечное время для моментов первого выхода броуновского движения с разладкой на заданный уровень. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в вопросах последовательного анализа стохастических систем, связанных с проверкой гипотез и обнаружением разладок.