Диссертация

Матричные и тензорные разложения данных с малым числом параметров, во-первых, допускают более эффективные вычисления с ними и более компактное хранение, во-вторых, отдельные параметры разложения могут оказаться информативными признаками. При работе с неотрицательными данными естественным образом возникает требование сохранения данного свойства для декомпозиции, таким образом появляется необходимость решения задачи неотрицательной факторизации матриц и тензоров.

В общем случае неотрицательная матричная факторизация считается NP-трудной проблемой даже при условии, что неотрицательный ранг матрицы известен. Известные методы для решения задачи неотрицательной матричной факторизации предполагают использование всех элементов исходной матрицы и сложность их не меньше O(mn), что при больших объемах данных делает их слишком ресурсоемкими. Ранее в литературе уже были рассмотрены алгоритмы для построения неотрицательных канонического разложения и разложения Таккера. Но к моменту начала работы автора над диссертацией почти не было методов для построения неотрицательной аппроксимации исходного тензора тензорным поездом, когда вагоны заполнены только неотрицательными числами. При этом известные алгоритмы неотрицательной факторизации тензоров включают на каждой итерации операцию с матрицей-разверткой исходного тензора, что делает их не подходящими для работы с большими данными.

В данной диссертации предлагаются методы для неотрицательной факторизации матриц и тензоров, основанные на малоранговых разложениях, приводятся теоретические результаты, доказывающие эффективность алгоритмов для ряда задач в части скорости работы и точности аппроксимаций. Разработанные методы реализованы программно и протестированы на ряде примеров в сравнении с другими алгоритмами. Алгоритмы, полученные в диссертации, уже успешно применяются для вычисления неотрицательного решения уравнения Смолуховского, сжатия видео и изображений с запуском на нескольких процессорах.