Диссертация

Докторская диссертация Е.Вл.Булинской основана на 30 работах автора (все без соавторов, из них 15 статей в ведущих рецензируемых научных изданиях), написанных и опубликованных после защиты кандидатской диссертации. Она посвящена исследованию современных моделей ветвящихся случайных блужданий – стохастических моделей, описывающих размножение, гибель и перемещение частиц в пространстве с течением времени. Особое внимание уделяется каталитическим ветвящимся случайным блужданиям (КВСБ) по целочисленной решетке произвольной размерности. Особенностью КВСБ является наличие любого конечного числа фиксированных точек катализа (источников ветвления) на решетке, в которых частицы могут размножаться и гибнуть, в то время как вне этих точек частицы совершают только случайное блуждание до очередного попадания в точку катализа. В первой главе диссертации Е.Вл.Булинской в рамках более общей модели, чем КВСБ (допускается перемещение частиц не только по решетке, но и по любому не более чем счетному множеству), введена классификация этих процессов на основе перронова корня определенной матрицы, предложенной автором диссертации, установлены предельные теоремы для общих и локальных численностей частиц. Эти результаты существенно используются во второй главе диссертации, когда Е.Вл.Булинская исследует скорость распространения популяции частиц в КВСБ при неограниченно растущем времени. Таким образом, ею изучается эволюция в пространстве и времени должным образом нормированного случайного облака частиц. Оказалось, что как скорость распространения популяции, так и предельная форма фронта существенным образом зависят от «тяжести» хвостов распределения скачка блуждания. Полученные результаты обнаруживают новые неожиданные эффекты, обобщают ряд предшествующих работ и носят приоритетный характер. Третья глава диссертации посвящена другим разнообразным задачам, относящимся к исследованию ветвящихся случайных блужданий: от первого достижения популяцией движущейся границы до скорости распространения фронта ветвящихся случайных блужданий с бесконечным числом точек катализа, расположенных периодически. Для решения взаимосвязанных сложных задач потребовалось сочетание вероятностных и аналитических методов, включающих многомерную теорию восстановления, анализ решений систем нелинейных интегральных уравнений, преобразование Лапласа, мартингальную технику, теорию больших уклонений и многие другие. Автором выполнено целостное и законченное исследование в актуальной области теории вероятностей и математической статистики.