Диссертация

Диссертация посвящена описанию корректных постановок и развитию методов исследования начальных и краевых (локальных и нелокальных) задач для дробных эволюционных уравнений, и связанных с ними классов систем уравнений с частными производными дробного порядка не превышающего единицы. В диссертации получены следующие результаты: На основе доказанной теоремы о необходимых нелокальных условиях для дробного диффузионно-волнового уравнения предложены метод редукции нелокальных краевых задач к локальным краевым задачам и способ установления их корректности. Развит метод параметрикса решения задачи Коши и установлен аналог принципа Зарембы–Жиро для дробных диффузионных уравнений с переменными коэффициентами. Доказан аналог формулы Грина для оператора дробного дифференцирования в смысле Герасимова–Капуто и на его основе развит метод функции Грина для уравнений с производными Герасимова–Капуто. Установлен эффект влияния младшего члена с дробной производной на корректность задания начальных условий для дробного телеграфного уравнения с производными Римана–Лиувилля. Построены фундаментальные решения, функции Грина, представления решений и доказаны теоремы об однозначной разрешимости начальных и краевых задач для дробных телеграфных уравнений с производными Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто. Описаны классы систем линейных уравнений с частными производными дробного порядка, качественно отличающиеся в плане постановок начально-краевых задач в зависимости от знакоопределённости собственных значений матричных коэффициентов. Даны корректные постановки, построены фундаментальные решения, функции Грина, представления решений и доказаны теоремы об однозначной разрешимости начальных и краевых задач для каждого из выделенных классов систем.