Диссертация

Цели работы. Разработка новых методов исследования функционально-дифференциальных операторов с инволюцией v(x)=1-x, и связанных с ними операторов Дирака. Получение новых приложений этих операторов в спектральной теории дифференциальных и интегральных операторов на графах и в смешанных задачах для уравнений в частных производных. Основные положения, выносимые на защиту. 1. Новые свойства функционально-дифференциальных операторов и уравнений с инволюцей, характеризующие тесную связь с системой Дирака и уравнением Штурма-Лиувилля: произвольная система Дирака является эквивалентной, а уравнение Штурма-Лиувилля является частным случаем простейшего уравнения с инволюцией v(x)=1-x, рассматриваемого в классе разрывных решений. Установлена связь между решениями смешанных задач для волнового уравнения и для уравнений с инволюцией, рассматриваемых в классе разрывных решения. 2. Методы исследования спектральных свойств функционально-дифференциальных операторов с инволюцией и тесно связанных с ними операторов Дирака, основанные на модификации приема L-диагонализации систем, а в случае системы Дирака с недифференцируемым потенциалом - на использовании для ее решения формул типа операторов преобразования. Развитые методы позволили получить уточненные асимптотические формулы для собственных функций исследуемых операторов, а также дать новые, достаточно элементарные доказательства базисности по Риссу системы с.п.ф. 3. Новые приемы, дающие существенные продвижения в методе Фурье и расширяющие границы его применения, позволяющие найти точные границы требований гладкости начальных данных в исследовании смешанных задач. Доказательство существования классических и обобщенных решений ряда смешанных задач для уравнения с инволюцией, систем уравнений в частных производных, волнового уравнения. 4. Для операторов первого порядка на графах базовым является граф из двух ребер с циклом. Доказательство базисности по Риссу (со скобками) системы с.п.ф. для ФДО с инволюцией на таком графе. Построение класса интегральных операторов на графе, для которого справедливы теоремы равносходимости с тригонометрическим рядом.