Диссертация

Целью исследования является усовершенствование известных методов решения двумерной задачи дискретного логарифмирования и задачи дискретного логарифмирования в интервале для групп с эффективными автоморфизмами. Исследования базируются на известных теоретических положениях алгебраической геометрии, дискретной математики, теории вероятностей, математического анализа, вычислительной математики. Автором впервые разработана модификация алгоритма Годри-Шоста решения двумерной задачи дискретного логарифмирования при 𝑃2 = 𝜑(𝑃1) и 𝑁1 = 𝑁2 в случае эллиптической кривой 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐵 над конечным простым полем из 𝑝 ≡ 1 mod 3 элементов, где 𝜑 — эффективный автоморфизм порядка 6. Получена оценка средней трудоемкости нового алгоритма. Получены оптимальные оценки (с точки зрения используемых параметров алгоритма Годри-Шоста) средней трудоемкости решения двумерной задачи дискретного логарифмирования для групп с эффективными автоморфизмами, а именно для подгрупп группы точек эллиптической кривой 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 над конечным простым полем из 𝑝>3 элементов для следующиз случаев: A, B, p – произвольные (эффективный автоморфизм порядка 2 операция вычисления обратного элемента); B = 0, p ≡ 1 mod 4 (эффективный автоморфизм порядка 4); A = 0, p ≡ 1 mod 3 (эффективный автоморфизм порядка 6). Разработана модификация алгоритма Годри-Шоста решения задачи дискретного логарифмирования в интервале в группе с эффективным инвертированием, а также получена оценка средней трудоемкости нового алгоритма. Работа имеет теоретический характер, однако полученные результаты могут применяться для обоснования стойкости конкретных реализаций математических методов защиты информации, что указывает на ее практическую значимость.