Диссертация

Диссертационная работа посвящена исследованию различных классов схем программного типа, реализующих булевы функции, и установлению асимптотических оценок функций Шеннона для сложности реализации булевых функций в указанных классах схем. В работе получены следующие результаты: введена новая модель рефлексивно-рекурсивных схем из функциональных элементов; введена новая модель программ, расширяющая ранее существующие модели программного типа, реализующие булевы функции; разработан новый метод получения нижних оценок сложности реализации булевых функций в классах рекурсивных схем, рефлексивно-рекурсивных схем и программ; разработаны новые методы синтеза рекурсивных и рефлексивно-рекурсивных схем, а также программ, позволяющие получить верхние оценки сооветствующих функций Шеннона; установлены асимптотически точные оценки для функций Шеннона для сложности реализации булевых функций в классах рекурсивных схем, рефлексивно-рекурсивных схем и программ. Задача синтеза дискретных управляющих систем (схем), реализующих булевы функции, впервые сформулированная К. Шенноном в 1949 г., начала активно изучаться в 50-х годах двадцатого века. Первые фундаментальные результаты, полученные в те годы К. Шенноном, О.Б. Лупановым, С.В. Яблонским выявили основные направления научных исследований, связанных с ее решением. Одним из этих направлений является изучение в рамках асимптотического подхода поведения т. н. функции Шеннона, которая зависит от натурального аргумента n, n = 1, 2, …, и определяется для каждого полного класса схем и связанного с ним функционала их сложности как сложность самой «сложной» функции от n переменных. При этом под сложностью функции понимается минимальная из сложностей реализующих ее схем. Решение данной задачи сводится, с одной стороны, к разработке методов синтеза, позволяющих установить, как правило, асимптотически точную при n = 1, 2, …, верхнюю оценку рассматриваемых функций Шеннона, а с другой стороны, к получению на основе т. н. мощностных методов нижней оценки этой функции Шеннона. Указанное исследование было проведено для различных классов схем, начиная с самых «простых» моделей вычисления и заканчивая достаточно сложными моделями программного типа. Модели программного типа исследовались ранее В.А. Кузьминым, О.М. Касим-Заде, С.В. Грибком и другими авторами. Вместе с тем, в рассматриваемых ими моделях программ отсутствовала возможность рекурсивного вызова процедур (подпрограммм), т. е. выполнение подпрограммами самих себя непосредственно или через другие подпрограммы. Указанная возможность является существенной особенностью программного способа реализации булевых функций, влияние параметров которой и, в частности, ее глубины на сложность рассматриваемой реализации, не было исследовано ранее. В диссертационной работе вводятся и исследуются модели рефлексивно-рекурсивных схем из функциональных элементов и программ, в которых допустим рекурсивный вызов процедур. Исследуется влияние глубины рекурсии на сложность реализации функций алгебры логики. Для рассматриваемых моделей предложены методы синтеза схем и программ, реализующие произвольные булевы функции, а также методы получения нижних оценок функции Шеннона для сложности реализации булевых функций, с помощью которых при определенных ограничениях было установлено асимптотическое поведение соответствующих функций Шеннона.