Диссертация

Объект и предмет исследования. Объектом диссертации являются графы переходов автоматов. Предметом исследования является сложность, возможность и число решений в задаче восстановления переходов автомата по его графу. Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью настоящей работы является исследование возможности восстановить разметку графа автомата, зная его принадлежность к заданному классу (дефинитных, абелевых или групповых автоматов). Достижение поставленной цели позволит восстановить автомат в случае потери информации об отметках на ребрах или же не хранить её изначально для экономии памяти. Кроме графов автоматов (ориентированных графов, разложимых в сумму подграфов, соответствующих символам алфавита), в диссертации также исследуются свойства графов, разложимых в сумму классических для теории графов структур (планарные графы, деревья и пр.), с целью демонстрации зависимости основных характеристик графа от разлагаемой структуры и в неориентированном случае. Тема, объект и предмет диссертационной работы соответствуют следующим пунктам парспорта специальности 01.01.09 ~--- дискретная математика и математическая кибернетика: теория автоматов, теория графов и комбинаторный анализ, синтез и сложность управляющих систем (в частности сложность алгоритмов и вычислений). Для достижения поставленных целей в работе сформулированы и решены следующие задачи. - Нахождение критериев того, что ребра ориентированного графа могут быть размечены таким образом, чтобы получить граф соответственно дефинитного/группового/абелевого автомата; - Поиск эффективного алгоритма для осуществления таких разметок и оценка его сложности; - Определение максимального количества таких разметок и определение, когда такое восстановление единственно; - Решение упомянутых выше трех задач для случая, когда количество символов в алфавите равно двум; - Определение хроматического графа в зависимости от возможности разложить его на планарные графы и структуры, аналогичные деревьям. Научная новизна. Автором найдены нетривиальные случаи, когда дефинитные, групповые и абелевые автоматы можно однозначно восстановить по графу, что позволит эффективно восстановить информацию об автомате в случае потери отметок на ребрах или изначально не хранить их для экономии памяти. При этом доказано, что в общем случае однозначное восстановление упомянутых выше классов автоматов невозможно и перебор всех случаев невозможен (экспонента по сложности). Также продемонстрирована зависимость основных характеристик графа от разлагаемой структуры в неориентированном случае. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Положения выносимые на защиту. На защиту выносятся: обоснование актуальности темы исследования, научная и практическая значимость работы, а также следующие положения. - Найдены нетривиальные случаи, когда дефинитные, групповые и абелевые автоматы можно однозначно восстановить по графу; - Для дефинитных автоматов и абелевых автоматов в алфавите из двух элементов найдены полиномиальные алгоритмы для осуществления такого восстановления или нахождения одного из возможных восстановлений, если восстановление неединственно; - Доказано, что в рассматриваемых классах в общем случае невозможен эффективный перебор всех восстановлений автомата (экспонента от количества вершин по сложности); - Получены оценки хроматического числа бипланарных графов без треугольников и найдено точное хроматическое число графов, разложимых в заданное количество псевдодеревьев и графов-звезд