Диссертация

Цели работы. Исследовать краевую задачу с гладким отходом от характеристики для уравнения Геллерстедта. Выписать и изучить символ концевого оператора, отвечающего за поведение решения в окрестности угловой точки. Исследовать краевую задачу с параллельным отходом от характеристики для уравнения Геллерстедта и условием Неймана на участке границы, параллельном линии изменения типа уравнения. Доказать однозначную разрешимость задачи с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Исследовать вид обратного оператора. Исследовать смешанную краевую задачу с наклонной производной и условием Дирихле на диаметре для уравнения Гельмгольца в полукруге и связанное с ней особое интегральное уравнение с переменными коэффициентами. Исследовать вид обратного оператора. Изучить расположение спектра смешанной задачи для уравнения Лапласа в полукруге. Изучить расположение спектра задачи с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Лапласа. Выяснить, образует ли базис в пространствах Лебега система корневых функций этой задачи. Найти асимптотическое поведение спектра и собственных функций интегрального оператора типа свертки, заданного на конечном отрезке, с образом Фурье ядра – характеристической функцией. Решить некоторые вспомогательные сингулярные интегральные уравнения и системы таких уравнений. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Развитые в ней методы и полученные результаты могут быть использованы специалистами в области дифференциальных уравнений и математической физики, теории краевых задач для дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, асимптотических методов.